Mengenal Bentuk Berbagai Irisan Kerucut

AMBILLAH sepasang kerucut lingkaran tegak yang bertautan di kedua puncaknya. Bila kerucut tersebut diiris menggunakan sebuah bidang dengan sudut yang berbeda-beda terhadap sumbu simetri, akan didapati beraneka ragam kurva yang masing-masing dinamai lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Dalam bentuk-bentuk yang istimewa juga dapat diperoleh sebuah titik dan garis-garis yang berpotongan.

Bagi orang Yunani Kuno, lingkaran adalah bentuk yang mulia dan melambangkan kesempurnaan. Filosof besar Yunani, Plato berpendapat, pergerakan sejati benda-benda langit dapat diterjemahkan ke dalam gerak melingkar seragam. Sampai dengan akhir abad ke-16, diktum ini menduduki tempat terhormat dalam astronomi.

Skema matematis yang menggambarkan gerak planet-planet di Tata Surya pernah dibuat Hipparchus, yang kemudian diperbaiki Ptolomeus. Dalam skema tersebut, setiap planet bergerak sepanjang keliling lingkaran yang disebut episiklus. Pusat episiklus ini juga bergerak sepanjang keliling lingkaran lain yang lebih besar (deferent) dan pusat lingkaran deferent berimpit dengan pusat Bumi yang diam. Paham ini banyak menimbulkan kesulitan. Bahkan penggagas teori Heliosentrik, Copernicus (1473-1543), masih menganggap orbit planet mengitari Matahari berbentuk lingkaran.

Astronom berkebangsaan Jerman, Johannes Kepler (1571-1630), berhasil menyederhanakan teori tentang pergerakan planet dengan memanfaatkan data observasi yang ditinggalkan Tycho Brahe. Setelah berjuang selama delapan tahun melalui perhitungan yang rumit dan 900 halaman folio dengan tulisan tangan yang kecil-kecil, akhirnya Kepler menyimpulkan, planet-planet bergerak dalam orbit elips dengan laju yang berubah-ubah. Kesimpulan ini yang kemudian dikenal sebagai hukum Kepler, merupakan langkah maju yang penting dari astronomi modern.

Bagaimanapun, hukum Kepler tersebut merupakan hukum empiris yang hanya berdasarkan hasil pengamatan. Pada abad ke-17 dengan menggunakan perangkat matematika kalkulus diferensial, Newton berhasil memberikan penjelasan fisis terhadap hukum Kepler. Dalam hukum gravitasi, Newton memperoleh persamaan irisan kerucut.

Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola. Karena elips adalah juga salah satu bentuk irisan kerucut, hasil ini membuktikan kesahihan hukum Kepler tentang bentuk orbit planet-planet mengitari Matahari. Dengan kata lain, Newton mampu menunjukkan, hukum Kepler merupakan akibat dari hukum Gravitasi.

Karakteristik yang membedakan keempat kurva irisan kerucut di atas adalah nilai dari konstanta positif yang disebut eksentrisitas. Eksentrisitas ini menyatakan perbandingan antara jarak PF (jarak dari suatu titik tetap yang disebut fokus F ke suatu titik lain P yang terletak di kurva) dengan jarak PL (jarak dari titik lain P yang terletak di kurva ke suatu garis L yang tetap yang disebut garis arah). Sebuah lingkaran memiliki nilai eksentrisitas sama dengan 0 (nol), elips di antara 0 dan 1, parabola sama dengan 1, dan untuk hiperbola semua nilai yang lebih besar daripada 1. Dari keempat kurva tersebut, hanya elips dan hiperbola yang memiliki dua buah fokus dan dua garis arah.

**

SEJUMLAH planet luar Tata Surya (extrasolar planets) yang ditemukan mengorbit bintang-bintang setipe Matahari diketahui memiliki orbit yang berbentuk lingkaran. Demikian pula dengan pesawat ulang-alik maupun satelit-satelit komunikasi geostasioner yang mengorbit Bumi. Sesuai namanya, satelit geostasioner ini memiliki orbit melingkar yang sejajar dengan ekuator atau khatulistiwa Bumi di ketinggian 35.800 kilometer. Satelit mengorbit Bumi dengan periode yang sama dengan periode rotasi Bumi, 23 jam 56 menit 41 detik. Posisi ini membuat satelit seolah-olah "terkunci", sebab ketinggian dan posisinya relatif dapat dibuat tetapterhadap wilayah di bawahnya.

Komet yang secara periodik mendekati Matahari adalah contoh benda langit yang memiliki orbit berbentuk elips. Demikian pula halnya planet-planet di Tata Surya, mulai dari elips yang hampir mendekati bentuk melingkar (nilai eksentrisitas mendekati 0) sampai elips yang agak lonjong yang ditandai dengan nilai eksentrisitas yang lebih besar. Bahkan pada sejumlah extrasolar planets dijumpai adanya planet dengan orbit yang memiliki eksentrisitas tinggi.

Pada orbit elips yang sangat lonjong tersebut kalor yang diterima planet dari bintang induknya mempunyai variasi sangat besar, yaitu 20 ampai 260 ari kalor yang diterima permukaan Bumi dari Matahari! Selain itu, bentuk elips juga dapat dijumpai pada bidang rekayasa, seperti dalam desain roda gigi mesin Wankel (Wankel engines) dan alat pemotong logam (punch press).

Sebuah sifat geometri sederhana dari kurva berbentuk parabola juga banyak diterapkan pada bidang teknik. Menurut fisika, bila seberkas cahaya tiba di suatu permukaan mengkilap, sudut datang berkas cahaya tersebut akan sama besar dengan sudut pantulnya. Dalam studi optika, inilah yang disebut hukum Pemantulan. Apabila sebuah parabola diputar mengelilingi sumbu simetrinya akan terbentuk sebuah permukaan menyerupai cangkir yang disebut paraboloida. Bila bagian dalam dari permukaan yang terbentuk dibuat mengkilap, berkas cahaya yang bersumber di fokus paraboloida dan mengenai permukaan mengkilap tersebut akan dipantulkan sejajar dengan sumbu simetri. Sifat inilah yang digunakan dalam pembuatan lampu sorot, di mana sumber cahaya ditempatkan di fokus.

Peristiwa sebaliknya dijumpai dalam astronomi. Teleskop optik yang menggunakan cermin paraboloida sebagai pengumpul cahayanya akan mengumpulkan semua cahaya yang datang dari obyek langit dan sejajar sumbu simetri ke arah fokus.

Mikrofon paraboloida yang dipakai untuk mengumpulkan bunyi dari bagian terjauh sebuah stadion sepakbola, misalnya, juga dibuat dengan memanfaatkan sifat di atas. Bunyi diketahui juga memenuhi hukum Pemantulan yang berlaku bagi cahaya. Jangan lupa dengan pelajaran fisika di jenjang SMA yang mengajarkan gerak peluru.

Bila gesekan udara diabaikan, lintasan sebuah peluru yang ditembakkan dengan sudut elevasi tertentu dari tanah akan berupa parabola. Kabel baja sebuah jembatan gantung berbentuk parabola. Busur juga sering berbentuk parabola. Demikian pula dengan komet-komet yang hanya sekali mendekati Matahari yang setelah itu tidak pernah kembali, lintasannya pun berbentuk parabola.

Bagaimana dengan kurva berbentuk hiperbola? Selain orbit parabola, komet-komet yang memiliki kecepatan dan massa yang cukup untuk mengatasi tarikan gravitasi Matahari juga dapat memiliki orbit berupa hiperbola. Sebuah sistem navigasi modern yang disebut LORAN (LOng RAnge Navigation) juga memanfaatkan bentuk kurva yang satu ini. LORAN digunakan untuk menentukan posisi kapal laut atau pesawat udara dengan cara menentukan beda waktu-tiba suatu sinyal radio yang mencapainya, yang dikirimkan dua buah pemancar tetap yang terpisah pada suatu jarak.

Sistem pemancar yang sudah disinkronkan tersebut terdiri atas stasiun utama dan stasiun pendukung. Stasiun utama akan memancarkan sinyal singkat ke kapal laut atau pesawat adara dalam selang waktu yang teratur yang akan diulangi stasiun pendukung. Gelombang radio yang memiliki kelajuan 300.000 km/detik ini bergerak dengan kelajuan yang sama dari kedua stasiun, namun menempuh jarak yang berbeda untuk tiba di instrumen penerima yang memiliki ketelitian sampai seperseribu detik.

Kedua sinyal yang dikirimkan tersebut setibanya di kapal laut atau pesawat udara akan dikuatkan dan ditampilkan di layar sebuah tabung sinar katode (Cathode-Ray Tube/CRT). Lokasi titik-titik dengan beda waktu-tiba tersebut direpresentasikan kurva hiperbola. Dengan cara demikian, lintasan kapal laut atau pesawat udara tersebut akan memotong sebuah hiperbola yang berfokus di kedua pemancar tadi.

Sifat optik irisan kerucut juga telah digunakan untuk menghasilkan lensa variabel sebagai pengganti lensa bifokal pada kacamata. Dimulai dari bagian atas, lensa diasah hingga eksentrisitasnya bervariasi dari kecil ke besar dengan bentuk irisan melintang mulai dari elips ke parabola sampai hiperbola. Kacamata jenis ini membantu penggunanya menghasilkan penglihatan yang sempurna terhadap benda di jarak berapapun hanya dengan memiringkan kepala. Menarik bukan?***